Probl mata Asumptwtik c Gewmetrik c Anˆlushc. Didaktorik Diatrib Pètroc Balèttac

Probl mata Asumptwtik c Gewmetrik c Anˆlushc Didaktorik Diatrib Pètroc Balèttac Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na 2012

Eishght c: A. Giannìpouloc

Perieqìmena Πρόλογος Βασικές έννοιες Σύντομη περιγραφή της εργασίας iii v xiii 1 Λογαριθμικά κοίλα μέτρα πιθανότητας 1 1.1 Λογαριθμικά κοίλα μέτρα πιθανότητας..................... 1 1.2 Ανισότητες για λογαριθμικά κοίλες συναρτήσεις............... 2 1.3 Ισοτροπικά λογαριθμικά κοίλα μέτρα πιθανότητας............... 5 1.4 Κυρτά σώματα που αντιστοιχούν σε μέτρα................... 10 1.4.1 Τα σώματα του K.Ball......................... 10 1.4.2 L q κεντροειδή σώματα......................... 16 1.4.3 L q κεντροειδή σώματα των K p (µ)................... 18 1.5 Συνελίξεις μέτρων................................ 22 2 ψ α -εκτιμήσεις για προβολές λογαριθμικά κοίλων μέτρων 27 2.1 ψ α εκτιμήσεις.................................. 27 2.2 Περιθώριες κατανομές και προβολές...................... 30 2.3 Τα σώματα B p (µ, F ).............................. 32 2.4 ψ α εκτιμήσεις τυχαίων περιθώριων κατανομών................ 33 2.5 Εφαρμογές.................................... 38 3 Υποκανονικές διευθύνσεις σε κυρτά σώματα 45 3.1 Περιγραφή του προβλήματος.......................... 45 3.2 Αποτελέσματα για ειδικές κλάσεις σωμάτων.................. 47

ii Περιεχομενα 3.3 Αριθμοί κάλυψης των L q -κεντροειδών σωμάτων................ 47 3.3.1 Πρώτη απόδειξη............................. 48 3.3.2 Δεύτερη απόδειξη............................ 53 3.4 Λόγος όγκων του ψ 2 σώματος......................... 57 4 Κατανομή ψ 2 -διευθύνσεων σε ισοτροπικά κυρτά σώματα 65 4.1 ψ 2 διευθύνσεις σε υποχώρους......................... 66 4.2 Συνάρτηση κατανομής της ψ 2 νόρμας..................... 70 4.3 Το μέσο πλάτος του ψ 2 σώματος....................... 73 5 Μέσο πλάτος στην ισοτροπική θέση 75 5.1 Θέση ελάχιστου μέσου πλάτους........................ 75 5.2 Η μέθοδος της εντροπίας............................ 77 5.3 Η μέθοδος των L q κεντροειδών σωμάτων................... 79 5.4 Η μέθοδος των τυχαίων πολυτόπων...................... 80 5.5 ψ 2 διευθύνσεις και μέσο πλάτος........................ 84 6 Λογαριθμική ανισότητα Sobolev 89 6.1 Βασικοί ορισμοί................................. 89 6.2 Log-Sobolev και ψ 2 μέτρα........................... 91 6.3 Ελαχιστική συνέλιξη.............................. 102

Prìlogoc Η διδακτορική αυτή διατριβή εντάσσεται στην περιοχή της Ασυμπτωτικής Κυρτής Γεωμετρίας. Τελείως σχηματικά, αντιμετωπίζουμε τρία βασικά προβλήματα: Υποκανονικές διευθύνσεις σε κυρτά σώματα του n-διάστατου Ευκλειδείου χώρου. Εκτίμηση του μέσου πλάτους στην ισοτροπική θέση, καθώς και την σύνδεσή του με την κατανομή των υποκανονικών διευθύνσεων. Γεωμετρία των λογαριθμικά κοίλων μέτρων πιθανότητας που ικανοποιούν την λογαριθμική ανισότητα Sobolev με δεδομένη σταθερά κ. Οι μέθοδοι που χρησιμοποιούμε για την προσέγγιση των προβλημάτων είναι κυρίως πιθανοθεωρητικές, αλλά και γεωμετρικές. Βασικό ζητούμενο των εκτιμήσεων είναι η ακριβής εξάρτηση από την διάσταση του χώρου, όταν αυτή μεγαλώνει. Σε αυτό το εισαγωγικό κομμάτι, παραθέτουμε το βασικό συμβολισμό, κάποια κλασικά εργαλεία της θεωρίας των κυρτών σωμάτων και της ασυμπτωτικής θεωρίας χώρων πεπερασμένης διάστασης με νόρμα, και δίνουμε μια σύντομη περιγραφή των αποτελεσμάτων της διατριβής. Σε αυτό το σημείο θα ήθελα να ευχαριστήσω πολύ το δάσκαλό μου κ. Γιαννόπουλο, ο οποίος με μύησε στον ελκυστικό κόσμο της «Κυρτής Γεωμετρικής Ανάλυσης», μου έμαθε όλα αυτά τα σύγχρονα και ενδιαφέροντα Μαθηματικά και συνεχίζει ακόμη να μου μαθαίνει.

Basikèc ènnoiec 1. Κυρτά σώματα και συμβολισμός 1.1. Δουλεύουμε στον R n, ο οποίος είναι εφοδιασμένος με μια Ευκλείδεια δομή,. Συμβολίζουμε με 2 την αντίστοιχη Ευκλείδεια νόρμα, γράφουμε B2 n για την Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα και S n 1 για την μοναδιαία σφαίρα. Ο όγκος (μέτρο Lebesgue) συμβολίζεται με. Γράφουμε ω n για τον όγκο της B2 n και σ για το αναλλοίωτο ως προς ορθογώνιους μετασχηματισμούς μέτρο πιθανότητας στην S n 1. Η πολλαπλότητα Grassmann G n,k των k-διάστατων υποχώρων του R n είναι εφοδιασμένη με το μέτρο πιθανότητας Haar ν n,k. Εστω k n και F G n,k. Συμβολίζουμε με P F την ορθογώνια προβολή από τον R n στον F. Επίσης, ορίζουμε B F := B2 n F και S F := S n 1 F. Τα γράμματα c, c, c 1, c 2 κλπ. συμβολίζουν απόλυτες θετικές σταθερές, οι οποίες μπορεί να αλλάζουν από γραμμή σε γραμμή. Οποτεδήποτε γράφουμε a b, εννοούμε ότι υπάρχουν απόλυτες σταθερές c 1, c 2 > 0 έτσι ώστε c 1 a b c 2 a. Επίσης, αν K, L R n θα γράφουμε K L αν υπάρχουν απόλυτες σταθερές c 1, c 2 > 0 έτσι ώστε c 1 K L c 2 K. 1.2. Ενα κυρτό σώμα στον R n είναι ένα συμπαγές κυρτό σύνολο C του R n με μη κενό εσωτερικό. Λέμε ότι το C είναι συμμετρικό αν x C αν και μόνον αν x C. Λέμε ότι το C έχει κέντρο βάρους το 0 (ή στην αρχή των αξόνων), αν x, θ dx = 0 για C κάθε θ S n 1. Η ακτινική συνάρτηση ρ C : R n \ {0} R + του κυρτού σώματος C με 0 int(c) ορίζεται ως ρ C (x) = max{t > 0 : tx C} και η συνάρτηση στήριξης του C ορίζεται ως h C (y) = max{ x, y : x C}. Παρατηρήστε ότι σε κάθε διευθύνση θ S n 1 ισχύει ρ C (θ) h C (θ). Το μέσο πλάτος του

vi Βασικες εννοιες C είναι η ποσότητα w(c) = h C (θ)σ(dθ). S n 1 Η περιγεγραμμένη ακτίνα του C είναι η R(C) = max{ x 2 : x C}. Πολλές φορές, για σώματα C με 0 int(c) λέμε την παραπάνω ποσότητα διάμετρο του σώματος. Ο λόγος είναι ότι αυτές οι δυο ποσότητες είναι ισοδύναμες: R(C) diam(c) 2R(C), όπου diam(c) είναι η συνήθης διάμετρος diam(c) = sup{ x y 2 : x, y C}. Το πολικό σώμα C του C ορίζεται να είναι το σώμα C = {x R n : x, y 1 y C}. Βασικές ιδιότητες του πολικού σώματος είναι οι ακόλουθες: 0 C. Αν 0 int(c), τότε (C ) = C. Για κάθε θ S n 1 ισχύει ρ C (θ) = 1/h C (θ). Για κάθε T GL(n) ισχύει (T K) = (T 1 ) (K ). Για κάθε < p <, p 0, ορίζουμε το p-μέσο πλάτος του C ως ( ) 1/p w p (C) = h p C (θ) dσ(θ). S n 1 Επίσης, γράφουμε για κάθε (n 1) p 0 ( I p (C) = C x p 2 dx ) 1/p, για την p ροπή της Ευκλείδειας νόρμας πάνω στο σώμα C. Τέλος, γράφουμε C για την ομοιοθετική εικόνα όγκου 1 του κυρτού σώματος C R n, δηλαδή C := C C 1/n. 1.3. Κάποιες βασικές ανισότητες για όγκους κυρτών σωμάτων οι οποίες θα φανούν χρήσιμες είναι οι ακόλουθες:

vii (α) Η ανισότητα του Urysohn. Αν C είναι κυρτό σώμα στον R n τότε w(c) ( ) 1/n C B2 n. (β) Η ανισότητα Blaschke Santaló. Αν K είναι συμμετρικό κυρτό σώμα στον R n, ή γενικότερα αν το K έχει κέντρο βάρους το 0, τότε K K B n 2 2. (γ) Η ανισότητα των Bourgain Milman. Υπάρχει μια απόλυτη σταθερά 0 < c < 1 ώστε: Για κάθε n N και για κάθε κυρτό σώμα K στον R n με 0 int(k), ισχύει K K c n B n 2. Η ανισότητα αυτή είναι γνωστή και ως αντίστροφη ανισότητα Santaló. (δ) Η ανισότητα των Rogers Shephard. Αν K είναι κυρτό σώμα στον R n, τότε ( ) 2n K K K. n 1.4. Το θεώρημα του Minkowski, το οποίο ταυτόχρονα εισάγει τους μεικτούς όγκους, λέει ότι για κάθε δυο κυρτά σώματα K 1, K 2 στον R n υπάρχουν συντελεστές V (K i1,... K in ), 1 i 1,..., i n 2, οι οποίοι καλούνται μεικτοί όγκοι, είναι συμμετρικοί ως προς τους δείκτες και επιπλέον 2 t 1 K 1 + t 2 K 2 = V (K i1,..., K in )t i1... t in i 1,...,i n=1 για κάθε t 1, t 2 0. Γράφουμε απλούστερα K + tl = n j=0 ( ) n V j (K, L)t n j, j όπου με V j (K, L) συμβολίζουμε τον μεικτό όγκο στον οποίο το σώμα K επαναλαμβάνεται j φορές ενώ το L εμφανίζεται n j φορές για να το δηλώσουμε αυτό γράφουμε V j (K, L) = V (K; j, L; n j). Η ανισότητα Alexandrov-Fenchel λέει ότι V j (K, L) 2 V j 1 (K, L)V j+1 (K, L)

viii Βασικες εννοιες για j = 1, 2,..., n 1. Άμεση συνέπεια αυτής είναι ότι η πεπερασμένη ακολουθία (V j /V 0 ) 1/j για j = 1,..., n είναι φθίνουσα. Παρατηρήστε ότι V 0 (K, L) = L. Θα μας χρειασθεί η περίπτωση όπου το σώμα L είναι η Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα B2 n. Σε αυτήν την περίπτωση ο μεικτός όγκος V j (K, B2 n ) είναι γνωστός ως το (n j)- quermassintegral του K και συμβολίζεται με W [n j] (K). Ετσι, ο παραπάνω τύπος δίνει τον κλασικό τύπο του Steiner n ( ) n K + tb2 n = W [n j] (K)t n j j j=0 για κάθε t > 0. Σε αυτήν την περίπτωση, η ανισότητα Alexandrov-Fenchel δείχνει ότι η πεπερασμένη ακολουθία (W [n j] (K)/ω n ) 1/j είναι φθίνουσα. Τέλος, θα μας χρειασθεί ο τύπος του Kubota, ο οποίος εκφράζει το quermassintegral ως την μέση τιμή των όγκων των προβολών του σώματος K πάνω από την G n,k : W [n j] (K) = ω n P F (K) dν n,j (F ), ω j G n,j για 1 j n 1. 1.5. Εστω A, B δύο συμπαγή υποσύνολα του R n. Ο αριθμός κάλυψης του A από το B είναι ο αριθμός N N(A, B) = min N N : x 1,..., x N A ώστε A (x j + B). Μια παραλλαγή του παραπάνω αριθμού κάλυψης είναι ο ακόλουθος αριθμός: N N(A, B) = min N N : x 1,..., x N R n ώστε A (x j + B). Είναι άμεσο από τον ορισμό ότι N(A, B) N(A, B). Μπορούμε εύκολα να ελέγξουμε ότι N(A, B B) N(A, B). Ειδικότερα, αν το B είναι συμμετρικό και κυρτό, τότε N(A, 2B) N(A, B). Θα χρησιμοποιήσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες των αριθμών κάλυψης: Αν A, B, C είναι κυρτά σώματα, τότε: N(A, B) N(A, C) αν B C, ενώ N(A, C) N(B, C) αν A B. N(A, C) N(A, B) N(B, C). j=1 j=1

ix N(A A, B B) N(A, B) 2. N(A + B, B + C) N(A, B) N(B, C). 2 n A+B B A A B N(A, B). N(A, B). Αν το B είναι συμμετρικό, τότε N(A, 2B) A+B B. Εστω A, B κυρτά σώματα με το B συμμετρικό. Για κάθε t > 0 ορίζουμε S t (A, B) = max{m N : x 1,..., x m A ώστε x i x j B > t για i j}. Από τον ορισμό ελέγχουμε εύκολα ότι N(A, tb) S t (A, B) N(A, t 2 B). Τέλος, θα χρειαστούμε δύο βασικά θεωρήματα για αριθμούς κάλυψης. Το πρώτο είναι η ανισότητα του Sudakov (πρβλ. [36]): Θεώρημα (Sudakov). Αν K είναι κυρτό σώμα στον R n, τότε για κάθε t > 0 ισχύει ( ( ) ) 2 w(k) N(K, tb2 n ) 2 exp cn, t όπου c > 0 είναι απόλυτη σταθερά. Το επόμενο θεώρημα αποδείχθηκε από τους Artstein-Milman-Szarek [2] και εκφράζει τον δυϊσμό των αριθμών κάλυψης, όταν ένα από τα δυο σώματα είναι η Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα. Θεώρημα (Artstein-Milman-Szarek, 2004). Εστω K συμμετρικό κυρτό σώμα στον R n. Τότε, log N(K, B2 n ) c 1 log N(B2 n, c 2 K ), όπου c 1, c 2 > 0 είναι απόλυτες σταθερές. 2. Χώροι πεπερασμένης διάστασης με νόρμα Εστω K συμμετρικό κυρτό σώμα στον R n. Η απεικόνιση K : R n R + με x K = inf{t > 0 : x tk} είναι νόρμα στον R n. Ο χώρος (R n, K ) συμβολίζεται με X K. Αντίστροφα αν X = (R n, ) είναι ένα χώρος με νόρμα, τότε η μοναδιαία μπάλα B = {x R n : x 1} του

x Βασικες εννοιες X είναι συμμετρικό κυρτό σώμα. Εστω X, Y δύο n-διάστατοι χώροι με νόρμα. Η απόσταση Banach Mazur του X από τον Y ορίζεται ως d(x, T ) = inf{ T T 1 T : X Y γραμμικός ισομορφισμός}. Σε γεωμετρική γλώσσα η απόσταση Banach Mazur περιγράφεται ως εξής: Αν X = X K και Y = X L (δηλαδή οι μοναδιαίες μπάλες των X, Y είναι τα κυρτά σώματα K, L αντίστοιχα) τότε ο d(x, Y ) είναι ο μικρότερος d > 0 ώστε L T (K) dl για κάποιον αντιστρέψιμο γραμμικό μετασχηματισμό T. Είναι προφανές ότι d(x, Y ) 1 για κάθε δύο n-διάστατους χώρους, με ισότητα αν και μόνον αν οι χώροι είναι ισομετρικά ισόμορφοι. Ετσι, η απόσταση Banach Mazur μετράει πόσο διαφέρουν δύο χώροι από το να είναι ισομετρικοί. Το πολύ γνωστό θεώρημα του Dvoretzky [14] (βλέπε [42] για τη βέλτιστη εξάρτηση ως προς τη διάσταση) μας πληροφορεί ότι κάθε n-διάστατος χώρος με νόρμα περιέχει υπόχωρο «μεγάλης διάστασης» που είναι σχεδόν Ευκλείδειος με την έννοια της απόστασης Banach Mazur. Θεώρημα (Dvoretzky, 1960). Για κάθε ε (0, 1) υπάρχει σταθερά c(ε) > 0 τέτοια ώστε: για κάθε n-διάστατο χώρο με νόρμα X υπάρχει υπόχωρος Y με διάσταση k c(ε) log n ώστε d(y, l k 2) < 1 + ε. Θα χρειαστούμε την ισομορφική εκδοχή του παραπάνω Θεωρήματος έτσι όπως διαμορφώθηκε από τους Litvak-Milman-Schechtman [38] και [45]. Εστω X = (R n, C ) χώρος με νόρμα. Ορίζουμε τον αριθμό Dvoretzky k (C) του C (ή του X) να είναι το { } ({ }) n max 1 k n : ν n,k F Gn,k : (w(c)/2)b F P F (C) 2w(C)B F. n + k Δηλαδή, k (C) είναι η μεγαλύτερη διάσταση k για την οποία οι «περισσότερες» k-διάστατες προβολές του συμμετρικού κυρτού σώματος C, με την έννοια του μέτρου Haar, είναι «4- ισόμορφες» με την Ευκλείδεια μπάλα. Οι Milman Schechtman [45] έδειξαν ότι ο αριθμός Dvoretzky δύναται να περιγραφεί από κάποιες καθολικές παραμέτρους του σώματος C. Πιο συγκεκριμένα έδειξαν ότι: c 1 n ( ) 2 ( ) 2 w(c) w(c) k (C) c 2 n, R(C) R(C)

xi για κάποιες απόλυτες σταθερές c 1, c 2 > 0. Ειδικότερα, το κάτω φράγμα έπεται από την απόδειξη του Milman [42] για το θεώρημα του Dvoretzky. Αργότερα, οι Litvak-Milman-Schechtman [38, Statement 3.1] απέδειξαν, ότι ο αριθμός είναι καθοριστικός για την συμπεριφορά των q-μέσων πλατών του σώματος C καθώς το q μεγαλώνει. Το ακριβές αποτέλεσμα είναι το ακόλουθο: Θεώρημα (Litvak-Milman-Schechtman, 1998). Εστω C συμμετρικό κυρτό σώμα στον R n. Τότε, ισχύει w(c), 1 q k (C) w q (C) q/nr(c), k (C) q n. R(C), q n Ειδικότερα, έχουμε ότι τα w q παραμένουν σταθερά και ίσα με w, όσο το q k (C). Το ανάλογο αυτής της παρατήρησης για αρνητικές τιμές του q αποδείχθηκε από τους Klartag-Vershynin [32, Theorem 1.2] και παραδόξως δείχνει ότι τα αρνητικά q-μέσα πλάτη έχουν κάτι παραπάνω από συμμετρική συμπεριφορά σε ό,τι αφορά την ευστάθειά τους: Το διάστημα στο οποίο μένουν σταθερά είναι εν γένει μεγαλύτερο από το ( k, 0). Ορίζουμε μια καινούργια παράμετρο ως εξής: Εστω C συμμετρικό κυρτό σώμα στον R n. Ο αριθμός d (C) είναι η ποσότητα d (C) = min { log σ ({ θ S n 1 : h C (θ) w(c) 2 }) }, n. Από την ισοπεριμετρική ανισότητα στην S n 1 μπορούμε εύκολα να ελέγξουμε ότι d (C) ck (C) για κάποια απόλυτη σταθερά c > 0. Εχουμε το ακόλουθο: Θεώρημα (Klartag-Vershynin, 2007). Εστω C συμμετρικό κυρτό σώμα στον R n. Για κάθε 0 < q < c 1 d (C) ισχύει: όπου c 1, c 2, c 3 > 0 είναι απόλυτες σταθερές. c 2 w(c) w q (C) c 3 w(c),

SÔntomh perigraf thc ergasðac Λογαριθμικά κοίλα μέτρα πιθανότητας. Στο Κεφάλαιο 1 παρουσιάζουμε την γενίκευση των κυρτών σωμάτων στο πλαίσιο των λογαριθμικά κοίλων μέτρων και τις διάφορες αντιστοιχίες μεταξύ τους. Πολλά από αυτά τα εργαλεία θα φανούν χρήσιμα στην συνέχεια για να μπορούμε με ευκολία να μεταβαίνουμε από τη θεωρία των κυρτών σωμάτων σε αυτήν των λογαριθμικά κοίλων μέτρων πιθανότητας και αντίστροφα. Χρησιμοποιούμε πιθανοθεωρητικές και γεωμετρικές μεθόδους για να αντιμετωπίσουμε τα ακόλουθα προβλήματα: Προβολές λογαριθμικά κοίλων μέτρων. Στο Κεφάλαιο 2 μελετούμε την ψ α συμπεριφορά τυχαίων προβολών λογαριθμικά κοίλων μέτρων. Ο συνήθης ορισμός για την ψ α εκτίμηση ενός μέτρου µ είναι ο ακόλουθος: Εστω 1 α 2. Λέμε ότι το µ είναι ψ α στη διεύθυνση θ S n 1 με σταθερά b α = b α (θ) > 0 αν ισχύει, θ ψα b α, θ 2, όπου ψα είναι η νόρμα που ορίζεται ως εξής { } f ψα = inf t > 0 : exp( f /t) α dµ 2, για κάθε f Borel μετρήσιμη συνάρτηση στον R n. Επίσης, λέμε ότι το μέτρο µ είναι ψ α με σταθερά B α, αν ισχύει B α := sup θ S n 1 b α (θ) <. Μια ισοδύναμη περιγραφή της ψ α νόρμας δύναται να δοθεί από τις q ροπές της συνάρτησης όπως δείχνει η ακόλουθη έκφραση: f ψα f Lq(µ) sup. q α q 1/α

xiv Συντομη περιγραφη της εργασιας Στην ειδική περίπτωση όπου το μέτρο µ είναι το ομοιόμορφο μέτρο µ K ενός κυρτού σώματος K στον R n, όγκου 1, με κέντρο βάρους το 0, έχουμε:, θ ψα(k), θ Lq(K) sup. a q n q 1/α Γι αυτό το λόγο ορίζουμε μια παραλλαγή ψ α της ψ α -νόρμας για τα λογαριθμικά κοίλα μέτρα, η οποία στην περίπτωση των ομοιόμορφων μέτρων σε κυρτά σώματα είναι ταυτόσημες:, θ Lq(µ), θ ψ α = sup. α q n q 1/α Με αυτόν τον ορισμό αποδεικνύουμε το εξής αποτέλεσμα (Θεώρημα 2.4.2): Θεώρημα Α. Εστω µ ένα ισοτροπικό λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R n. Γράφουμε π F (µ) για την προβολή (marginal) του µ στον υπόχωρο F. (α) Αν k n τότε υπάρχει A k G n,k με μέτρο ν n,k (A k ) > 1 exp( c n) τέτοιο ώστε, για κάθε F A k, το π F (µ) είναι ψ 2-μέτρο με σταθερά C, όπου C > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. (β) Αν k = n δ, 1 2 < δ < 1 τότε υπάρχει A k G n,k με μέτρο ν n,k (A k ) > 1 exp( ck) τέτοιο ώστε, για κάθε F A k, το π F (µ) είναι ψ α(δ) -μέτρο με σταθερά C, όπου α(δ) = και C > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. 2δ 3δ 1 Η απόδειξη που θα παρουσιάσουμε χρησιμοποιεί το Θεώρημα του Dvoretzky, το αποτέλεσμα των Litvak-Milman-Schechtman [38] για την συμπεριφορά των q-μέσων πλατών και το θεώρημα του Παούρη [49], ότι οι ροπές της Ευκλείδειας νόρμας ως προς ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας µ παραμένουν σταθερές ως την κρίσιμη τιμή q : I 2 (µ) I q (µ) c 1 I 2 (µ) για 2 q c 2 q (µ), όπου q (µ) είναι η μεγαλύτερη τιμή των q 2 για την οποία ο αριθμός Dvoretzky του L p -κεντροειδούς σώματος του µ είναι τουλάχιστον p για όλα τα p στο διάστημα [2, q]. Στο δεύτερο μέρος δείχνουμε πώς μπορούμε να εφαρμόσουμε το Θεώρημα Α ώστε να δώσουμε κάτω φράγματα για τις αρνητικές ροπές της Ευκλείδειας νόρμας ως προς το µ. Δείχνουμε το εξής: Θεώρημα Β. Εστω µ ισοτροπικό λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R n. Τότε, ισχύουν τα εξής:

xv (α) Αν k n, τότε I k (µ) c 1 n. (β) Αν δ ( 1 2, 1) και k = nδ, τότε I k (µ) c 2 n 1/2 s/2, όπου s = δ(2δ 1) (3δ 1) και c 1, c 2 > 0 είναι απόλυτες σταθερές. Επίσης, δείχνουμε ότι το ψ 2 -σώμα του μέτρου µ, το οποίο ορίζεται μέσω της συνάρτησης στήριξής του, θ Lq(µ) h Ψ2(µ)(θ) = sup 2 q n q και συμβολίζεται με Ψ 2 (µ), έχει «μικρό μέσο πλάτος». Εχουμε το ακόλουθο (Θεώρημα 2.5.8): Θεώρημα Γ. Εστω µ ισοτροπικό λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R n. Τότε, w(ψ 2 (µ)) c 4 n, όπου c > 0 απόλυτη σταθερά. Ως συνέπεια παίρνουμε ότι το μέσο πλάτος ισοτροπικού κυρτού σώματος K είναι O(n 3/4 L K ). Υπαρξη ψ 2 -διεύθυνσης σε ισοτροπικά κυρτά σώματα. Στο Κεφάλαιο 3 μελετούμε το πρόβλημα ύπαρξης μιας τουλάχιστον ψ 2 -διεύθυνσης σε κυρτά σώματα. Το ερώτημα οφείλεται στον V. Milman και διατυπώνεται ως εξής: Υπάρχει μια απόλυτη σταθερά C > 0 ώστε για κάθε n N και για κάθε κυρτό σώμα K στον R n με κέντρο βάρους το 0 υπάρχει y 0 ώστε, y ψ2(k) C, y L2(K). Είναι άμεση συνέπεια της ανισότητας Brunn-Minkowski ότι κάθε κυρτό σώμα K όγκου 1 στον R n με κέντρο βάρους στην αρχή των αξόνων είναι ψ 1 -σώμα σε όλες τις διευθύνσεις: Για κάθε θ S n 1 ισχύει Επιπλέον, είναι εύκολο να δούμε ότι ισχύει, θ ψ1(k) C, θ L2(K)., θ ψ2(k) C n, θ L2(K) για κάθε θ S n 1. Παρατηρήστε ότι από την διατύπωση του προβλήματος μπορούμε να δουλέψουμε με οποιονδήποτε αντιπρόσωπο της αφινικής κλάσης του σώματος K.

xvi Συντομη περιγραφη της εργασιας Το ενδιαφέρον για την υπάρξη ψ 2 -διευθύνσεων ξεκινά από την δουλειά του Bourgain [6] (και [7]) για να δώσει άνω φράγμα για την ισοτροπική σταθερά L K ενός ισοτροπικού σώματος K. Στο επιχείρημά του φαίνεται ότι αν ξέραμε την ύπαρξη «αρκετών» ψ 2 διευθύσεων με απόλυτη σταθερά, τότε θα ήταν πιθανόν να επιτύχουμε την εκτίμηση L K = O(log n). Επιπλέον, ύπαρξη ψ 2 -διεύθυνσης με σταθερά b > 0 θα μας έδινε πληροφορίες για την κατανομή του όγκου του κυρτού σώματος K έξω από συμμετρικές λωρίδες πλάτους 2t, θ 2 : {x K : x, θ t, θ 2 } 2e t2 /b 2. Το επιχείρημα που χρησιμοποιούμε για να εξασφαλίσουμε την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ψ 2 διεύθυνσης με «καλή σταθερά» είναι ένα επιχείρημα σύγκρισης όγκων που χρησιμοποιήθηκε στα [30] και [21]: Παίρνουμε το σώμα K στην ισοτροπική θέση και χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι είναι ψ 2 στην διεύθυνση θ με σταθερά b > 0 αν και μόνον αν ισχύει: ( 1/q ( ) x, θ dx) q cb ql K K για όλα τα 2 q n. Ορίζοντας h Zq(K)(y) να είναι η συνάρτηση ( y K x, y q dx) 1/q, βλέπουμε ότι είναι υποπροσθετική και θετικά ομογενής, άρα ορίζεται κυρτό σώμα που την έχει συνάρτηση στήριξης ονομάζουμε αυτό το σώμα Z q (K). Κατόπιν, βασιζόμαστε στην εξής παρατήρηση: Αν T είναι ένα συμμετρικό κυρτό σώμα, τότε υπάρχει θ S n 1 ώστε h T (θ) ρ αν T ρb2 n. Αφού θέλουμε να ικανοποιείται η ( ) για κάθε 2 q n αρκεί να εφαρμόσουμε την παραπάνω παρατήρηση για το σώμα ({ }) Zq (K) T = Ψ 2 (K) = conv : 2 q n q και για κάποιο ρ = cbl K. Τέλος, βασιζόμενοι στην απλή παρατήρηση T / B N(T, B), προσπαθούμε να δώσουμε άνω φράγματα για αριθμούς κάλυψης της μορφής N(T, sl K B n 2 ). Αποδεικνύουμε το ακόλουθο (Πρόταση 3.4.7): Θεώρημα Δ. Εστω K ισοτροπικό κυρτό σώμα στον R n. Τότε, για κάθε t 1 ισχύει log N(Ψ 2 (K), c 1 t log nl K B n 2 ) c 2n t, όπου c 1, c 2 > 0 είναι απόλυτες σταθερές. Αυτό εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ψ 2 διεύθυνσης με σταθερά O( log n).

xvii Κατανομή ψ 2 διευθύνσεων σε ισοτροπικά κυρτά σώματα. Στο Κεφάλαιο 4 ασχολούμαστε με το πόσο πολλές είναι οι ψ 2 διευθύνσεις σε ένα ισοτροπικό κυρτό σώμα. Καμιά από τις προηγούμενες προσεγγίσεις δεν εξασφαλίζει μέτρο για τις ψ 2 διευθύνσεις του σώματος με δεδομένη σταθερά. Ο B. Klartag στο [30] δείχνει ότι υπάρχει σύνολο A S n 1 με σ(a) 4/5 ώστε, θ ψ2(k 1) C(log n) 3, θ L2(K 1) για κάθε θ A, όμως το σώμα K 1 είναι η l θέση του σώματος K: αυτή είναι ουσιαστικά η θέση που ελαχιστοποιεί το μέσο πλάτος. Αποδεικνύουμε το ακόλουθο (Θεώρημα 4.2.1): Θεώρημα Ε. Εστω K ισοτροπικό κυρτό σώμα στον R n. Για κάθε t 1 έχουμε ψ K (t) := σ ({θ S n 1 :, θ ψ2 t }) log nl K exp( cn/t 2 ), όπου c > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. Για να αποδείξουμε το αποτέλεσμα τροποποιούμε το επιχείρημα του προηγούμενου Κεφαλαίου: αποδεικνύουμε εκτιμήσεις για τους αριθμούς κάλυψης των προβολών των σωμάτων Z q (K) σε κάθε υπόχωρο κάθε διάστασης. Με αυτόν τον τρόπο, σε κάθε υπόχωρο βρίσκουμε διευθύνσεις με «σχετικά μικρή» ψ 2 -νόρμα. Συγκεντρώνοντάς τις, βρίσκουμε ένα υποσύνολο της σφαίρας «σχετικά μεγάλου μέτρου» στο οποίο η συνάρτηση στήριξης του Ψ 2 (K) είναι μικρή. Επιπλέον, δείχνουμε ότι όταν το t είναι σχετικά μεγάλο, έχουμε πιο ικανοποιητική εκτίμηση στο μέτρο των ψ 2 -διευθύνσεων (Πρόταση 4.2.2): Θεώρημα ΣΤ. Εστω K ισοτροπικό κυρτό σώμα στον R n. Τότε, για κάθε t 4 n/ log n έχουμε: ψ K (t) 1 e ct2 log n. Για την απόδειξη χρησιμοποιούμε τη σφαιρική ισοπεριμετρική ανισότητα και την εκτίμηση για το μέσο πλάτος του ψ 2 -σώματος του K (Θεώρημα Γ). Στο δεύτερο μέρος του Κεφαλαίου δείχνουμε πώς μπορούμε να εκμεταλλευτούμε την πληροφορία που έχουμε για τη συνάρτηση ψ K (t) ώστε να εκτιμήσουμε το μέσο πλάτος στην ισοτροπική θέση. Το επιχείρημα βασίζεται στην εκτίμηση των αρνητικών μέσων πλατών του ψ 2 -σώματος του K και στο αποτέλεσμα ευστάθειας των αρνητικών ροπών μιας νόρμας, που οφείλεται στους Klartag και Vershynin [32].

xviii Συντομη περιγραφη της εργασιας Εκτίμηση μέσου πλάτους στην ισοτροπική θέση. Στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζουμε τα γνωστά επιχειρήματα για την μέχρι στιγμής καλύτερη εκτίμηση του μέσου πλάτους στην ισοτροπική θέση. Στο τέλος του Κεφαλαίου δείχνουμε πώς μπορεί κανείς να παράγει ένα επιχείρημα διχοτομίας για την εκτίμηση του μέσου πλάτους στην ισοτροπική θέση, λαμβάνοντας υπόψιν τις εκτιμήσεις για την συνάρτηση ψ K. Για ένα ισοτροπικό κυρτό σώμα K και για κάθε 2 q n ορίζουμε ( ) 2 w(zq (K)) k (q) := n. R(Z q (K)) Αυτός είναι ουσιαστικά ο αριθμός Dvoretzky του συμμετρικού κυρτού σώματος Z q (K). Ορίζουμε την παράμετρο ρ = ρ (K) := min 2 q n k (q). Χρησιμοποιώντας ουσιωδώς την πληροφορία που έχουμε για την κατανομή των ψ 2 -διευθύνσεων αποδεικνύουμε το ακόλουθο (Θεώρημα 5.5.4): Θεώρημα Ζ. Εστω K ισοτροπικό κυρτό σώμα στο R n. Τότε, ισχύει όπου C > 0 απόλυτη σταθερά. w(k) C n min{ ρ, n log n/ρ }L K, Παρατηρήστε ότι το θεώρημα αυτό περιγράφει την διχοτομία που αναφέραμε, ως προς το μέγεθος της παραμέτρου ρ (K). Τέλος, παρουσιάζουμε ένα τεχνικό επιχείρημα που μας επιτρέπει να απαλείψουμε τον λογαριθμικό παράγοντα στην παραπάνω εκτίμηση. Λογαριθμική ανισότητα Sobolev. Στο Κεφάλαιο 6 ασχολούμαστε με ισοτροπικά λογαριθμικά κοίλα μέτρα πιθανότητας που ικανοποιούν την λογαριθμική ανισότητα Sobolev με δεδομένη σταθερά. Λέμε ότι το λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας µ στον R n ικανοποιεί λογαριθμική ανισότητα Sobolev με σταθερά κ, αν για κάθε Lipschitz συνάρτηση f : R n R ισχύει: Ent µ (f 2 ) 2κ f 2 2 dµ, R n όπου Ent µ (g) = g log g dµ g dµ log g dµ είναι η εντροπία της g. Συμβολίζουμε την κλάση αυτών των μέτρων με LS lc (κ). Η βασική παρατήρηση ότι ένα τέτοιο μέτρο είναι ψ 2 με σταθερά O( κ), έπεται από το κ- λασικό επιχείρημα του Herbst και μας επιτρέπει να αποδείξουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα (Θεώρημα 6.2.10):

xix Θεώρημα Η. Εστω µ ισοτροπικό λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R n το οποίο ανήκει στην LS lc (κ). Τότε, (i) Ολες οι διευθύνσεις είναι υποκανονικές: Το µ είναι ψ 2 -μέτρο με σταθερά c 1 κ. (ii) Η ισοτροπική σταθερά του µ είναι φραγμένη: L µ c 2 κ. (iii) Εστω I q (µ) = ( x q 2 dµ) 1/q, n < q <, q 0. Τότε, για κάθε 2 q <. Ειδικότερα, για όλα τα q c 4 n/κ. Επίσης, για κάθε q c 6 n/κ. I q (µ) I 2 (µ) + κ q I q (µ) c 3 n I q (µ) c 5 n (iv) Οι περισσότερες διευθύνσεις είναι «κανονικές» και υπερ-gaussian: Υπάρχει ένα υποσύνολο A της S n 1 με μέτρο σ(a) > 1 e c7n/κ έτσι ώστε για κάθε θ A να έχουμε ( ) 1/q x, θ q ( dµ(x) c 8 κ q/p για κάθε 1 p c 9 n/κ και κάθε q p, και, επιπλέον, για κάθε 1 t c 11 n/κ. µ(x : x, θ t) e c10t2 /κ, ) 1/p x, θ p dµ(x) Επίσης, χρησιμοποιώντας την ισοπεριμετρική ανισότητα για μέτρα που ικανοποιούν την λογαριθμική ανισότητα Sobolev μπορούμε να δώσουμε μια βελτιωμένη εκτίμηση για την συνάρτηση κατανομής της φθίνουσας αναδιάταξης τυχαίου διανύσματος που αποδείχθηκε από τον R. Lata la στο [33]. Το ακριβές αποτέλεσμα είναι το εξής (Πρόταση 6.2.11): Θεώρημα Θ. Εστω µ ισοτροπικό λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R n το οποίο ανήκει στην κλάση LS lc (κ). Για κάθε 1 m n και για κάθε t C κ log(en/m), έχουμε µ(x : x m t) e cmt2 /κ.

xx Συντομη περιγραφη της εργασιας Τέλος, δείχνουμε ότι ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας που ικανοποιεί την λογαριθμική ανισότητα Sobolev με σταθερά κ > 0 ικανοποιεί την ιδιότητα (τ) με συνάρτηση κόστους ϕ(y) = c(κ) y 2 2, y R n. Εχουμε το ακόλουθο (Θεώρημα 6.3.6): Θεώρημα Ι. Εστω µ λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R n, το οποίο ικανοποιεί την λογαριθμική ανισότητα Sobolev με σταθερά κ > 0. Τότε, το ζεύγος (µ, ϕ) έχει την ιδιότητα (τ), δηλαδή για κάθε f φραγμένη μετρήσιμη συνάρτηση στον R n ισχύει: e ϕf dµ e f dµ 1, όπου (fϕ)(x) = inf y R n{f(x y) + ϕ(y)} είναι η ελαχιστική συνέλιξη της f με τη ϕ και ϕ(y) = c κ y 2 2, όπου c > 0 είναι απόλυτη σταθερά. Για να αποδείξουμε το παραπάνω αποτέλεσμα χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι η λογαριθμική ανισότητα Sobolev και η Gaussian ισοπεριμετρική ανισότητα είναι ισοδύναμες για λογαριθμικά κοίλα μέτρα, γεγονός που αποδείχθηκε από τους Bakry και Ledoux στο [3].

Kefˆlaio 1 Logarijmikˆ koðla mètra pijanìthtac 1.1 Logarijmikˆ koðla mètra pijanìthtac Συμβολίζουμε με P [n] την κλάση των μέτρων πιθανότητας στον R n τα οποία είναι απολύτως συνεχή ως προς το μέτρο Lebesgue. Γράφουμε A n για την Borel σ-άλγεβρα του R n. Η πυκνότητα ενός μέτρου µ P [n] συμβολίζεται με f µ. αν (1.1) Εστω µ P [n]. Λέμε ότι το µ έχει βαρύκεντρο το x 0 R n και γράφουμε bar(µ) = x 0 R n x, θ dµ(x) = x 0, θ για κάθε θ S n 1. Η υποκλάση CP [n] της P [n] αποτελείται από όλα τα µ P [n] που έχουν βαρύκεντρο την αρχή των αξόνων. Δηλαδή, µ CP [n] αν (1.2) για κάθε θ S n 1. R n x, θ dµ(x) = 0 Η υποκλάση SP [n] της P [n] αποτελείται από όλα τα άρτια (συμμετρικά) μέτρα µ P [n] : το µ λέγεται άρτιο αν µ(a) = µ( A) για κάθε σύνολο Borel A στον R n. Ορισμός 1.1.1. Ενα μέτρο µ P [n] λέγεται λογαριθμικά κοίλο αν για κάθε ζεύγος

2 Λογαριθμικα κοιλα μετρα πιθανοτητας συνόλων Borel A, B στον R n και για κάθε 0 < λ < 1 ισχύει (1.3) µ((1 λ)a + λb) µ(a) 1 λ µ(b) λ. Μια συνάρτηση f : R n [0, ) λέγεται λογαριθμικά κοίλη αν (1.4) f((1 λ)x + λy) f(x) 1 λ f(y) λ για κάθε x, y R n και για κάθε 0 < λ < 1. Οπως και στην περίπτωση των μέτρων, το βαρύκεντρο της f ορίζεται ως εξής: (1.5) bar(f) = xf(x) dx. R n Ειδικότερα, λέμε ότι η f έχει βαρύκεντρο την αρχή των αξόνων αν (1.6) x, θ f(x) dx = 0 R n για κάθε θ S n 1. Αν ισχύει αυτό, θα λέμε ότι η f είναι κεντραρισμένη. Σημείωση. Ενα θεώρημα του Borell (βλέπε [11] και [12]) δείχνει ότι κάθε μη εκφυλισμένο λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R n ανήκει στην κλάση P [n]. Θεώρημα 1.1.2. Εστω µ ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R n με την ιδιότητα µ(h) < 1 για κάθε υπερεπίπεδο H. Τότε, το µ είναι απολύτως συνεχές ως προς το μέτρο Lebesgue και έχει μια λογαριθμικά κοίλη πυκνότητα f, δηλαδή dµ(x) = f(x) dx. 1.2 Anisìthtec gia logarijmikˆ koðlec sunart - seic Σε αυτήν την παράγραφο παραθέτουμε κάποια τεχνικά λήμματα για λογαριθμικά κοίλες συναρτήσεις τα οποία θα χρησιμοποιούνται συχνά στην συνέχεια. Το επόμενο Λήμμα αποδείχθηκε στο [4]. Λήμμα 1.2.1. Εστω p 1 και έστω φ : [0, ) [0, ) μια κυρτή συνάρτηση με φ(0) = 0 και g : [0, ) [0, ) μια φθίνουσα ολοκληρώσιμη συνάρτηση ώστε (1.7) g(φ(x))x p 1 dx = 0 0 g(x)x p 1 dx.

1.2 Ανισοτητες για λογαριθμικα κοιλες συναρτησεις 3 Τότε, για κάθε t 0 έχουμε (1.8) t g(φ(x))x p 1 dx t g(x)x p 1 dx. Λήμμα 1.2.2. Εστω h : [0, ) [0, ) μια φθίνουσα συνάρτηση και έστω φ : [0, ) [0, ) με φ(0) = 0 ώστε η φ(x)/x να είναι αύξουσα. Τότε, η (1.9) G(p) = είναι φθίνουσα συνάρτηση του p στο (0, ). ( 0 h(φ(x))x p 1 dx 0 h(x)x p 1 dx ) 1/p Για μια απόδειξη βλέπε [43]. Αν f : [0, ) [0, ) είναι μια λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση, εφαρμόζοντας το προηγούμενο Λήμμα για τις h(x) = e x και φ(x) = log f(x) f(0), παίρνουμε το εξής: Πόρισμα 1.2.3. Εστω f : [0, ) [0, ) μια λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση. Τότε, η συνάρτηση [ 1 (1.10) G(p) := f(0)γ(p) είναι φθίνουσα συνάρτηση του p στο [1, ). 0 ] 1/p f(x)x p 1 dx Το επόμενο Λήμμα έχει παρόμοια απόδειξη με το [43, Lemma 2.1.] Λήμμα 1.2.4. Εστω f : [0, ) [0, ) ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Τότε, η ( p (1.11) F (p) := f είναι αύξουσα συνάρτηση του p στο [1, ). Το επόμενο Λήμμα αποδείχθηκε στο [17]. 0 ) 1/p t p 1 f(t) dt Λήμμα 1.2.5. Εστω f : R n [0, ) μια λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση με bar(f) = 0. Τότε, (1.12) f(0) f e n f(0). Χρησιμοποιώντας το Λήμμα του Borell [12] θα δούμε ότι κάθε λογαριθμικά κοίλο μέτρο µ P [n] ικανοποιεί αντίστροφες ανισότητες Hölder (ανισότητες τύπου Khintchine) για ειδικού τύπου συναρτήσεις.

4 Λογαριθμικα κοιλα μετρα πιθανοτητας Λήμμα 1.2.6 (Borell). Εστω µ P [n] το οποίο είναι λογαριθμικά κοίλο. Τότε, για κάθε συμμετρικό κυρτό σύνολο A στον R n με µ(a) = α (0, 1) και για κάθε t > 1 έχουμε ( 1 α (1.13) 1 µ(ta) α α ) t+1 2 Απόδειξη. Χρησιμοποιώντας την συμμετρία και την κυρτότητα του A ελέγχουμε ότι (1.14) 2 t + 1 Rn \ (ta) + t 1 t + 1 A Rn \ A. για κάθε t > 1. Κατόπιν, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι το µ είναι λογαριθμικά κοίλο για να φτάσουμε στο συμπέρασμα. Θεώρημα 1.2.7. Εστω µ P [n] το οποίο είναι λογαριθμικά κοίλο. Αν f : R n R είναι μια ημινόρμα στον R n, τότε για κάθε 1 p < q, έχουμε ( 1/p ( ) 1/q (1.15) f dµ) p f q dµ c q ( 1/p f dµ) p, p όπου c > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. Απόδειξη. Γράφουμε f p p := f p dµ. Τότε, το σύνολο (1.16) A = {x R n : f(x) 3 f p } είναι συμμετρικό και κυρτό. Επίσης, για κάθε t > 0 έχουμε (1.17) ta = {x R n : f(x) 3t f p } και µ(a) 1 3 p 2 3. Από το Λήμμα του Borell βλέπουμε ότι. (1.18) µ(x : f(x) 3t f p ) 1 3 e c1p(t 1) για κάθε t > 1, όπου c 1 = ln 2 2. Τώρα, μπορούμε να γράψουμε (1.19) f q dµ = qs q 1 µ(x : f(x) s) ds 0 (3 f p ) q + 1 3 (3 f p) q qt q 1 e c1p(t 1) dt (3 f p ) q + ec1p 3 (3 f p) q (3 f p ) q + ec1p 3 1 0 qt q 1 e c1pt dt ( ) q 3 f p Γ(q + 1). c 1 p

1.3 Ισοτροπικα λογαριθμικα κοιλα μετρα πιθανοτητας 5 Από τον τύπο του Stirling και από την (a + b) 1/q a 1/q + b 1/q για κάθε a, b > 0 και q 1, έπεται ότι f Lq(µ) c q p f L p(µ). Παρατηρήσεις 1.2.8. (α) Τα γραμμικά συναρτησοειδή είναι ημινόρμες στον R n, άρα ικανοποιούν τις υποθέσεις του Θεωρήματος 1.2.7. Συνεπώς, αν θ S n 1 τότε, (1.20), θ q c q p, θ p, για 1 p < q. Ειδικότερα, έχουμε (1.21), θ q cq, θ 1 για κάθε θ S n 1 και q 1, όπου c > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. Το γεγονός αυτό παίζει πολύ βασικό ρόλο στα επόμενα. (β) Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι το n-διάστατο μέτρο Gauss είναι λογαριθμικά κοίλο, βλέπουμε ότι αν f είναι μια ημινόρμα, τότε η f ικανοποιεί το συμπέρασμα του Θεωρήματος 1.2.7. Από την άλλη πλευρά, ολοκληρώνοντας σε πολικές συντεταγμένες παίρνουμε (1.22) ( 1/q f(x) q dγ n (x)) ( ) 1/q n + q f(θ) q dσ(θ), S n 1 για κάθε q 1. Συνδυάζοντας αυτές τις ανισότητες, έχουμε: (1.23) ( ) 1/q f q dσ c q ( ) 1/p n + p f p dσ, S p n + q n 1 S n 1 για κάθε 1 p q, όπου c > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. 1.3 Isotropikˆ logarijmikˆ koðla mètra pijanìthtac Ορισμός 1.3.1. Ενα μέτρο µ P [n] λέγεται ισοτροπικό αν έχει βαρύκεντρο το 0 και ικανοποιεί την ισοτροπική συνθήκη (1.24) x, θ 2 dµ(x) = 1 R n για κάθε θ S n 1. Εύκολα ελέγχουμε ότι αν το µ P [n] έχει βαρύκεντρο το 0 τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναμα:

6 Λογαριθμικα κοιλα μετρα πιθανοτητας (α) Το µ είναι ισοτροπικό. (β) Για κάθε γραμμική απεικόνιση T : R n R n, (1.25) x, T x dµ(x) = tr(t ). R n (γ) Ισχύουν οι R n x i x j dµ(x) = δ ij για κάθε i, j = 1, 2,..., n. Παρατήρηση 1.3.2. Αν το µ είναι ισοτροπικό, τότε (1.26) x 2 2 dµ(x) = n. R n Επίσης, για κάθε γραμμική απεικόνιση T : R n R n έχουμε (1.27) T x 2 2 dµ(x) = T 2 HS, R n όπου T HS = ( n j=1 T e j 2 2) 1/2 είναι η Hilbert Schmidt νόρμα του T. Η επόμενη Πρόταση δείχνει ότι κάθε μη εκφυλισμένο μέτρο µ P [n] με βαρύκεντρο το 0 έχει μια ισοτροπική γραμμική εικόνα. Πρόταση 1.3.3. Εστω µ ένα μέτρο στην P [n] που έχει βαρύκεντρο το 0 και ο φορέας του δεν περιέχεται σε υπερεπίπεδο. Τότε, υπάρχει αντιστρέψιμη γραμμική απεικόνιση S : R n R n ώστε το ν = S(µ) να είναι ισοτροπικό, όπου S(µ)(A) := µ(s 1 (A)) για κάθε Borel υποσύνολο A του R n. Απόδειξη. Ορίζουμε T : R n R n με (1.28) T y = x, y x dµ(x). Παρατηρήστε ότι ο T είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος: έχουμε (1.29) T y, y = x, y 2 dµ(x) > 0, για κάθε y R n, y 0. Συνεπώς, υπάρχει συμμετρικός θετικά ορισμένος S GL(n) ώστε T 1 = S 2. Ορίζουμε ν = µ S 1. Τότε, για κάθε y R n παίρνουμε (1.30) x, y 2 dν(x) = Sx, y 2 dµ(x) = x, Sy 2 dµ(x) = T Sy, Sy = S 1 y, Sy = y 2 2. Επιπλέον, αν το µ έχει βαρύκεντρο το 0 τότε το ν έχει την ίδια ιδιότητα.

1.3 Ισοτροπικα λογαριθμικα κοιλα μετρα πιθανοτητας 7 Ορισμός 1.3.4. Εστω f μια κεντραρισμένη λογαριθμικά κοίλη πυκνότητα. Δηλαδή, η f έχει βαρύκεντρο το 0, είναι λογαριθμικά κοίλη και f = 1. Τότε, η f λέγεται ισοτροπική R n αν (1.31) x, θ 2 f(x) dx = 1 R n για κάθε θ S n 1. Οπως πριν, ελέγχουμε εύκολα ότι η f είναι ισοτροπική αν και μόνο αν ισχύει κάποιο από τα παρακάτω: (i) Για κάθε γραμμική απεικόνιση T : R n R n έχουμε (1.32) x, T x f(x) dx = tr(t ). R n (ii) Ισχύουν οι (1.33) R n x i x j f(x) dx = δ ij, i, j = 1,..., n. Πάλι, αν η f είναι ισοτροπική, τότε x 2 R 2f(x) dx = n, και γενικότερα, n (1.34) T x 2 2f(x) dx = T 2 HS R n για κάθε γραμμική απεικόνιση T : R n R n. Τέλος, ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας µ στον R n το οποίο δεν φέρεται από υπερεπίπεδο είναι ισοτροπικό αν και μόνο αν έχει ισοτροπική λογαριθμικά κοίλη πυκνότητα f µ. Παρατήρηση 1.3.5. Παρατηρήστε ότι ένα κυρτό σώμα K με όγκο 1 και βαρύκεντρο το 0 στον R n είναι ισοτροπικό αν και μόνο αν η συνάρτηση L n K 1 1 L K K είναι μια ισοτροπική λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση. Ορισμός 1.3.6. Εστω f μια λογαριθμικά κοίλη πυκνότητα. Τότε, ο πίνακας συνδιακυμάνσεων Cov(f) της f είναι ο πίνακας με συντεταγμένες (1.35) Cov(f) i,j = Cov f (x i, x j ) = x i x j f(x) dx R n x i f(x) dx R n x j f(x) dx. R n Παρατηρήστε ότι η f είναι ισοτροπική αν και μόνο αν ο Cov(f) είναι ο ταυτοτικός πίνακας. Αν f είναι μια λογαριθμικά κοίλη πυκνότητα με bar(f) = 0, τότε η ισοτροπική σταθερά της f ορίζεται μέσω της (1.36) L f = (f(0)) 1/n (det Cov(f)) 1 2n.

8 Λογαριθμικα κοιλα μετρα πιθανοτητας Στην περίπτωση που η f είναι επιπλέον ισοτροπική, έχουμε (1.37) L f = (f(0)) 1/n. Ο ορισμός αυτός είναι συνεπής με τον ορισμό της ισοτροπικής σταθεράς ενός κυρτού σώματος, με την έννοια ότι (1.38) L f = L K, όπου f = L n K 1 K L K. Επίσης, εύκολα ελέγχουμε ότι L f = L f T για κάθε γραμμική απεικόνιση T : R n R n, και L f = L tf για κάθε t > 0. Τέλος, για ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας µ στον R n με bar(µ) = 0 ορίζουμε L µ := L fµ, όπου f µ η πυκνότητά του. Πρόταση 1.3.7. Εστω f : R n [0, ) μια ισοτροπική λογαριθμικά κοίλη πυκνότητα. Τότε, (1.39) f(0) 1/n c, όπου c > 0 απόλυτη σταθερά. Απόδειξη. Αφού η f είναι ισοτροπική, μπορούμε να γράψουμε ( ) x 2 n = x 2 2 (1.40) 2f(x) dx = 1 dt f(x) dx = = = R n 0 0 0 1 {x: x 2 2 t}(t)f(x) dx dt R n f(x) dx dt R n \ tb n 2 ( 1 0 tb n 2 (ωn f ) 2/n 0 f(x)dx = (ω n f ) 2/n n n + 2. ) dt [1 ω n f t n/2 ] dt Παίρνοντας υπ όψιν μας την ω 1/n n n έχουμε το ζητούμενο. Κλείνουμε αυτήν την Παράγραφο με την έννοια του σχεδόν ισοτροπικού μέτρου.

1.3 Ισοτροπικα λογαριθμικα κοιλα μετρα πιθανοτητας 9 Ορισμός 1.3.8. Εστω µ λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R n. Το µ λέγεται σχεδόν ισοτροπικό αν για την ισοτροπική του εικόνα S(µ) ισχύει ότι ο S είναι σχεδόν ισομετρία. Δηλαδή, αν υπάρχουν απόλυτες σταθερές c 1, c 2 > 0 ώστε c 1 x 2 Sx 2 c 2 x 2 για κάθε x R n. Το επόμενο Λήμμα περιγράφει την ευστάθεια της ισοτροπικής εικόνας µ. Λήμμα 1.3.9. Εστω µ λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R n ώστε για κάθε y R n να ισχύει: (1.41) b 2 y 2 2 x, y 2 dµ(x) a 2 y 2 2. R n Τότε, αν ν = S(µ) είναι ισοτροπική εικόνα του µ έχουμε ότι a Sθ 2 b για κάθε θ S n 1. Επιπλέον, για την ισοτροπική σταθερά του ν (ή του µ) ισχύει: (1.42) b 1 f µ (0) 1/n L ν a 1 f µ (0) 1/n. Απόδειξη. Εστω ν = S(µ) ισοτροπική εικόνα του µ. Τότε, για κάθε θ S n 1 γράφουμε: 1 = x, θ 2 dν(x) = Sx, θ 2 dµ(x) a 2 S θ 2 2, από την υπόθεση. Ομοια δείχνουμε ότι S θ 2 b και έπεται το πρώτο μέρος του Λήμματος. Εύκολα βλέπουμε ότι αν f µ είναι η πυκνότητα του µ, τότε f ν = (det(s)) 1 f S 1, οπότε L µ = L ν = f ν (0) 1/n = f µ(0) 1/n [det(s)] 1/n. Αλλά, b 2 y 2 2 T y, y a 2 y 2 2, για κάθε y R n, από την Πρόταση 1.3.3 και την υπόθεση. Καθώς, ο S είναι η τετραγωνική ρίζα του T 1, έπεται ότι ab n 2 S(B n 2 ) bb n 2. Παίρνοντας όγκους, βλέπουμε ότι a det(s) 1/n b. Αυτό αποδεικνύει και την δεύτερη εκτίμηση του Λήμματος.

10 Λογαριθμικα κοιλα μετρα πιθανοτητας 1.4 Kurtˆ s mata pou antistoiqoôn se mètra Σε αυτήν την παράγραφο περιγράφουμε κάποιες μεθόδους με τις οποίες μπορεί κανείς να μελετήσει ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας χρησιμοποιώντας αντίστοιχες πληροφορίες για κυρτά σώματα. Για τον σκοπό αυτό, θα αντιστοιχίσουμε σε κάθε λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας μια οικογένεια από κυρτά σώματα, ορίζοντάς τα μέσω της συνάρτησης στήριξης ή της ακτινικής τους συνάρτησης. 1.4.1 Ta s mata tou K.Ball Ορισμός 1.4.1. Εστω f : R n [0, ) μια μετρήσιμη συνάρτηση. Για κάθε p > 0 ορίζουμε ένα σώμα K p (f) ως εξής: (1.43) K p (f) = { x R n : 0 f(rx)r p 1 dr f(0) }. p Αν µ είναι ένα μέτρο στον R n το οποίο είναι απολύτως συνεχές ως προς το μέτρο Lebesgue τότε ορίζουμε (1.44) K p (µ) := K p (f µ ) = όπου f µ είναι η πυκνότητα του µ. { x : 0 r p 1 f µ (rx) dr f(0) }, p Λήμμα 1.4.2. Εστω K ένα κυρτό σώμα στον R n με 0 K. Τότε, έχουμε K p (1 K ) = K για κάθε p > 0. Απόδειξη. Για κάθε θ S n 1 έχουμε (1.45) ρ p K p(1 K ) (θ) = 1 1 K (0) = ρk (θ) 0 + 0 pt p 1 1 K (tθ) dt pt p 1 dt = ρ p K (θ). Επεται ότι K p (1 K ) = K. Υποθέτοντας ότι η f είναι λογαριθμικά κοίλη μπορούμε να αποδείξουμε ότι τα σώματα K p (f) είναι κυρτά. Για τον σκοπό αυτό χρειαζόμαστε το επόμενο Λήμμα το οποίο θυμίζει την ανισότητα Prékopa Leindler (πρβλ. [4]).

1.4 Κυρτα σωματα που αντιστοιχουν σε μετρα 11 Λήμμα 1.4.3. Εστω f, g, h : [0, ) [0, ) μετρήσιμες συναρτήσεις που ικανοποιούν την ( ) 2 (1.46) h f(r) s r r+s g(s) r+s 1 r + 1 s για κάθε r, s > 0. Θεωρούμε p > 0 και θέτουμε (1.47) Τότε, (1.48) C ( 1/p A = f(r)r dr) p 1, 0 ( 1/p B = g(r)r dr) p 1, 0 ( 1/p C = h(r)r dr) p 1. 0 2 1 A + 1 B Θεώρημα 1.4.4. Εστω f : R n [0, ) λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση και έστω p > 0. Τότε, το K p (f) είναι κυρτό σύνολο. Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε ότι αν x, y K p (f) τότε x+y 2 K p (f). Αν ορίσουμε (1.49) g(r) = f(rx), h(r) = f(ry) και m(r) = f(r x + y ), 2 θα θέλαμε να δείξουμε ότι αν A, B f(0)/p τότε C f(0)/p. Αφού. (1.50) 2 f(0) A 1 + B 1 p, αρκεί να δείξουμε ότι η υπόθεση του προηγούμενου Λήμματος ικανοποιείται από τις m, g, h. Αυτό ελέγχεται εύκολα, διότι η f είναι λογαριθμικά κοίλη. Η επόμενη Πρόταση περιγράφει κάποιες βασικές ιδιότητες των σωμάτων K p (f). Πρόταση 1.4.5. Εστω f, g : R n [0, ) ολοκληρώσιμες συναρτήσεις με m = f(x) inf g(x)>0 g(x), M = sup f(x) g(x)>0 g(x) και f(0) = g(0) > 0 και έστω p > 0. Εστω V ένα αστρόμορφο σώμα και έστω V το συναρτησοειδές Minkowski του V. Τότε, (i) 0 K p (f).

12 Λογαριθμικα κοιλα μετρα πιθανοτητας (ii) Το K p (f) είναι αστρόμορφο. (iii) Το K p (f) είναι συμμετρικό αν η f είναι άρτια. (iv) m 1/p K p (g) K p (f) M 1/p K p (g). (v) Για κάθε θ S n 1 έχουμε (1.51) K n+1(f) x, θ dx = 1 x, θ f(x) dx. f(0) R n Συνεπώς, η f έχει βαρύκεντρο το 0 αν και μόνο αν το K n+1 (f) έχει βαρύκεντρο το 0. (vi) Για κάθε θ S n 1 και για κάθε p > 0 έχουμε (1.52) x, θ p dx = 1 x, θ p f(x) dx. K n+p(f) f(0) R n (vii) Αν p > n τότε (1.53) K n+p(f) x p V dx = 1 x p V f(x) dx. f(0) R n (viii) Ο όγκος του K n (f) είναι ίσος με (1.54) K n (f) = 1 f(0) R n f(x)dx. Απόδειξη. Οι (i), (ii) και (iii) ελέγχονται άμεσα. Για την (iv) συγκρίνουμε τις ακτινικές συναρτήσεις των K p (f) και K p (g). Εχουμε (1.55) ρ p K p(f) (x) = p f(0) 0 = (M 1/p ρ Kp(g)(x)) p, και όμοια, (m 1/p ρ Kp(g)(x)) p ρ p K p(f) (x). r p 1 f(rx) dx M p g(0) 0 r p 1 g(rx) dx (v) Ολοκληρώνοντας σε πολικές συντεταγμένες βλέπουμε ότι, για κάθε θ S n 1, 1/ φ Kn+1 (f) (1.56) x, θ dx = nω n φ, θ r S n drdσ(φ) n 1 K n+1(f) = nω n f(0) = 1 f(0) S n 1 φ, θ 0 0 R n x, θ f(x)dx. r n f(rθ)drdσ(φ)

1.4 Κυρτα σωματα που αντιστοιχουν σε μετρα 13 Συνεπώς, αν η f έχει βαρύκεντρο το 0 τότε το K n+1 (f) έχει επίσης βαρύκεντρο το 0. (vi) Το ίδιο επιχείρημα δείχνει ότι, για κάθε p > n και για κάθε θ S n 1, (1.57) K n+p(f) x, θ p dx = nω n = nω n f(0) = 1 f(0) φ, θ p S n 1 φ, θ p S n 1 1/ φ Kn+p (f) 0 0 R n x, θ p f(x)dx. (vii) Δουλεύοντας με τον ίδιο τρόπο βλέπουμε ότι, αν n < p τότε (1.58) K n+p(f) r n+p 1 drdσ(φ) r n+p 1 f(rθ)drdσ(φ) 1/ φ Kn+p x p V dx = nω n φ p (f) V r n+p 1 drdσ(φ) S n 1 0 = nω n φ p V r n+p 1 f(rθ)drdσ(φ) f(0) S n 1 0 = 1 x p V f(0) f(x)dx. R n (viii) Εντελώς ανάλογα, (1.59) K n (f) = K n(f) Εχουμε έτσι όλες τις ιδιότητες (i) (viii). 1 dx 1/ φ Kn (f) = nω n r n 1 drdσ(φ) S n 1 0 = nω n r n 1 f(rθ)drdσ(φ) f(0) S n 1 0 = 1 f(x)dx. f(0) R n Στο επόμενο Θεώρημα αποδεικνύουμε σχέσεις εγκλεισμού ανάμεσα στα σώματα K p (f). Θεώρημα 1.4.6. Εστω f : R n [0, ) λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση. (α) Αν 1 p q τότε (1.60) Γ(p + 1) 1/p Γ(q + 1) 1/q K q(f) K p (f) ( ) 1 f p 1 q Kq (f). f(0)

14 Λογαριθμικα κοιλα μετρα πιθανοτητας (β) Αν bar(f) = 0 τότε για κάθε 1 p q, (1.61) Γ(p + 1) 1/p Γ(q + 1) 1/q K q(f) K p (f) e n p n q Kq (f). Απόδειξη. Παρατηρήστε ότι το (β) είναι άμεση συνέπεια του (α) αν χρησιμοποιήσουμε το Λήμμα 1.2.5: γνωρίζουμε ότι αν bar(f) = 0 τότε f(0) f e n f(0). Συνεπώς, (1.62) ( ) 1 f p 1 q f(0) e n p n q. Για τον δεξιό εγκλεισμό στην (1.60) χρησιμοποιούμε το Λήμμα 1.2.4: για κάθε x 0 η ( p (1.63) F (p) := f είναι αύξουσα συνάρτηση του p στο [1, ). Συνεπώς, 0 ) 1/p r p 1 f(rx) dr (1.64) ) 1/q r q 1 f(rx) dx ( q ρ Kq(f)(x) = f(0) 0 ( ) 1/q ( f q = f(0) f ( ) 1/q f = F (q) f(0) 0 ) 1/q r q 1 f(rx) dr ( ) 1/q f F (p) f(0) ( ) 1/q 1/p ( ) 1/p f f = F (p) f(0) f(0) ( ) 1/q 1/p f = ρ Kp(f)(x). f(0) Για τον αριστερό εγκλεισμό στην (1.60) χρησιμοποιούμε το Πόρισμα 1.2.3: για κάθε x 0 η συνάρτηση ( 1 (1.65) G(p) := f(0)γ(p) 0 ) 1/p r p 1 f(rx) dr

1.4 Κυρτα σωματα που αντιστοιχουν σε μετρα 15 είναι φθίνουσα συνάρτηση του p στο [1, ). Συνεπώς, (1.66) ρ Kq(f)(x) = ( q f(0) 0 ) 1/q r q 1 f(rx) dx ( = Γ(q + 1) 1/q 1 f(0)γ(q) = Γ(q + 1) 1/q G(q) 0 ) 1/q r q 1 f(rx) dr = και η απόδειξη είναι πλήρης. Γ(q + 1)1/q Γ(p + 1) 1/p Γ(p + 1)1/p F (p) Γ(q + 1)1/q Γ(p + 1) 1/p ρ K p(f)(x), Πρόταση 1.4.7. Εστω f : R n [0, ) λογαριθμικά κοίλη πυκνότητα με bar(f) = 0. Τότε, για κάθε p > 0 έχουμε (1.67) e 1 f(0) 1 n + 1 p Kn+p (f) 1 n + 1 p e n + p n. Στην περίπτωση p = 0 έχουμε ήδη δείξει ότι f(0) 1/n K n (f) 1/n = 1. Απόδειξη. Αρχικά, χρησιμοποιώντας την (1.61) παίρνουμε ( ) (1.68) e n2 q n2 p Γ(q + 1) 1/q n Kp (f) K q (f) K Γ(p + 1) 1/p p (f). Στην συνέχεια, εφαρμόζοντας αυτήν την ανισότητα για το ζεύγος (n, n + p) και συνδυάζοντάς την με την (1.54) βλέπουμε ότι, για κάθε p > 0, (1.69) άρα, e np n+p f(0) K n+p (f) ((n + p)!) n 1 n+p n!f(0), (1.70) Παρατηρώντας ότι 1 e f(0) 1 n + 1 p Kn+p (f) 1 n + 1 ((n + p)!) 1 p p. (n!) n+p np (1.71) ((n + p)!) 1 p (n!) n+p np (n + p) (n!) 1 p (n!) n+p np = n + p (n!) 1 n e n + p n, έχουμε την Πρόταση.

16 Λογαριθμικα κοιλα μετρα πιθανοτητας 1.4.2 L q kentroeid s mata Ορισμός 1.4.8. Εστω K ένα κυρτό σώμα όγκου 1 στον R n. Για κάθε q 1 ορίζουμε το L q -κεντροειδές σώμα Z q (K) του K να είναι το συμμετρικό κυρτό σώμα που έχει συνάρτηση στήριξης ( 1/q (1.72) h Zq(K)(y) =, y Lq (K) = x, y dx) q. Παρατηρήστε ότι Z q (T (K)) = T (Z q (K)) για κάθε T SL(n) και για κάθε q 1. Επίσης, ένα κυρτό σώμα K που έχει όγκο 1 και βαρύκεντρο το 0 είναι ισοτροπικό αν το Z 2 (K) είναι πολλαπλάσιο της μοναδιαίας Ευκλείδειας μπάλας. Ο ορισμός επεκτείνεται φυσιολογικά στο πλαίσιο των λογαριθμικά κοίλων μέτρων πιθανότητας. Εστω f : R n [0, ) μια λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση με f = 1. Για κάθε q 1 ορίζουμε το L q -κεντροειδές σώμα Z q (f) της f να είναι το συμμετρικό κυρτό σώμα με συνάρτηση στήριξης ( ) 1/q (1.73) h Zq(f)(y) := x, y q f(x) dx. R n Αντίστοιχα, αν µ είναι ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R n, ορίζουμε ( ) 1/q (1.74) h Zq(µ)(y) := x, y q dµ(x). R n Παρατηρήστε ότι αν το µ έχει πυκνότητα f µ ως προς το μέτρο Lebesgue τότε Z q (µ) = Z q (f µ ). Οπως και στην περίπτωση των κυρτών σωμάτων, έχουμε Z q (T (µ)) = T (Z q (µ)) για κάθε T L(n) και για κάθε q 1, όπου T (µ) είναι η μεταφορά του μέτρου µ μέσω του T, δηλαδή T (µ)(a) := µ(t 1 (A)) για κάθε Borel σύνολο A στον R n. Επίσης, για λογαριθμικά κοίλες συναρτήσεις ισχύει Z q (f T ) = T 1 (Z q (f)) για κάθε T SL(n). Μια κεντραρισμένη λογαριθμικά κοίλη πυκνότητα f είναι ισοτροπική αν Z 2 (f) = B n 2. Λήμμα 1.4.9. Εστω K ένα κυρτό σώμα όγκου 1 με βαρύκεντρο το 0 στον R n. Τότε, για κάθε θ S n 1 και για κάθε q 1, (1.75) x, θ q Γ(q + 1)Γ(n) dx 2eΓ(q + n + 1) max { h q K (θ), hq K ( θ)}. K Απόδειξη. Θεωρούμε την συνάρτηση f θ (t) = K (θ + tθ). Από την αρχή του Brunn η f 1/(n 1) θ είναι κοίλη στον φορέα της. Επεται ότι ( (1.76) f θ (t) 1 t ) n 1 f θ (0) h K (θ) K

1.4 Κυρτα σωματα που αντιστοιχουν σε μετρα 17 για κάθε t [0, h K (θ)]. Συνεπώς, (1.77) K x, θ q dx = hk (θ) 0 hk (θ) 0 hk ( θ) + 0 ( = f θ (0) = t q f θ (t)dt + t q ( 1 t h q+1 K hk ( θ) 0 h K (θ) t q (1 Γ(q + 1)Γ(n) Γ(q + n + 1) f θ(0) t q f θ (t)dt ) n 1 f θ (0)dt ) n 1 t f θ (0)dt h K ( θ) ) 1 (θ) + hq+1 K ( θ) s q (1 s) n 1 ds 0 ( ) h q+1 K (θ) + hq+1 K ( θ) Γ(q + 1)Γ(n) 2Γ(q + n + 1) f θ(0) (h K (θ) + h K ( θ)) max { h q K (θ), hq K ( θ)}. Αφού το K έχει βαρύκεντρο το 0, έχουμε f θ ef θ (0), άρα (1.78) 1 = K = hk (θ) h K ( θ) f θ (t)dt e (h K (θ) + h K ( θ)) f θ (0). Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. Πόρισμα 1.4.10. Εστω K ένα κυρτό σώμα όγκου 1 με βαρύκεντρο το 0 στον R n. Για κάθε θ S n 1 και για κάθε q n, (1.79), θ q max{h K (θ), h K ( θ)}. Απόδειξη. Από το Λήμμα 1.4.9 ελέγχουμε εύκολα ότι, θ n max{h K (θ), h K ( θ)}. Υποθέτουμε ότι K είναι ένα κυρτό σώμα όγκου 1 στον R n. Από την ανισότητα Hölder είναι φανερό ότι (1.80) Z 1 (K) Z p (K) Z q (K) Z (K) για κάθε 1 p q, όπου Z (K) = conv{k, K}. Από το Θεώρημα 1.2.7, για κάθε y R n και για κάθε q > p > 1 έχουμε (1.81), y q cq p, y p.

18 Λογαριθμικα κοιλα μετρα πιθανοτητας Επιπλέον, αν υποθέσουμε ότι το K έχει βαρύκεντρο το 0, τότε το Πόρισμα 1.4.10 ισχυρίζεται ότι (1.82), y L n (K) max{h K (y), h K ( y)}. Στην γλώσσα των L q -κεντροειδών σωμάτων, αυτά τα δύο αποτελέσματα παίρνουν την ακόλουθη μορφή. Πρόταση 1.4.11. Εστω K ένα κυρτό σώμα όγκου 1 στον R n. Τότε, για κάθε 1 p < q έχουμε (1.83) Z p (K) Z q (K) c 1q p Z p(k), όπου c 1 > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. Αν το K έχει βαρύκεντρο το 0, τότε (1.84) Z q (K) c 2 Z (K) για κάθε q n, όπου c 2 > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. Εντελώς ανάλογο αποτέλεσμα ισχύει για λογαριθμικά κοίλα μέτρα. Πρόταση 1.4.12. Εστω µ ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R n πυκνότητα f. Τότε, για κάθε 1 p < q έχουμε με (1.85) Z p (f) Z q (f) cq p Z p(f), όπου c > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. 1.4.3 L q kentroeid s mata twn K p (µ) Σε αυτήν την Παράγραφο συζητάμε την σχέση της οικογένειας των L q -κεντροειδών σωμάτων ενός κεντραρισμένου λογαριθμικά κοίλου μέτρου πιθανότητας µ με την οικογένεια των σωμάτων K p (µ). Πρόταση 1.4.13. Εστω f λογαριθμικά κοίλη πυκνότητα με bar(f) = 0 στον R n. Για κάθε p 1, (1.86) Z p (K n+p (f)) K n+p (f) 1 p + 1 n f(0) 1/p = Z p (f).

1.4 Κυρτα σωματα που αντιστοιχουν σε μετρα 19 Απόδειξη. Εστω p 1. Από την Πρόταση 1.4.5 (vi) γνωρίζουμε ότι (1.87) x, θ p dx = 1 x, θ p f(x) dx K n+p(f) f(0) R n για κάθε θ S n 1. Αφού (1.88) x, θ p dx = K n+p 1+ p n K n+p(f) K n+p(f) x, θ p dx, παίρνουμε το συμπέρασμα. Τώρα, χρησιμοποιούμε το Λήμμα 1.4.7. Γνωρίζουμε ότι για κάθε p > 0 ισχύει (1.89) e 1 f(0) 1 n + 1 p Kn+p (f) 1 n + 1 p e n + p n. Από την Πρόταση 1.4.13 παίρνουμε: Πρόταση 1.4.14. Εστω f μια κεντραρισμένη λογαριθμικά κοίλη πυκνότητα στον R n. Για κάθε p 1, (1.90) 1 e Z p(k n+p (f)) f(0) 1/n Z p (f) e n + p n Z p(k n+p (f)). Δουλεύοντας με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να συγκρίνουμε τα συμμετρικά κυρτά σώματα Z q (K n+r1 (f)) και Z q (K n+r2 (f)) για (n 1) < r 1 r 2 < και q 1. Λήμμα 1.4.15. Εστω f μια λογαριθμικά κοίλη πυκνότηατ στον R n με κέντρο βάρους το 0. Τότε, για κάθε (n 1) < r 1 r 2 < έχουμε (1.91) A 1 q,r 1,r 2,nZ q (K n+r2 (f)) Z q (K n+r1 (f)) A q,r1,r 2,nZ q (K n+r2 (f)), όπου (1.92) A q,r1,r 2,n := e n(r 2 r 1 )(n+q) (Γ(n + r q(n+r 1 )(n+r 2 2)) ) Απόδειξη. Για κάθε θ S n 1 έχουμε (1.93) h q Z q(k n+r1 (f)) (θ) h q Z q(k n+r2 (f)) (θ) = = ( ) 1+ q n Kn+r2 K n+r1 ( ) 1+ q n Kn+r2 K n+r1 (Γ(n + r 1 )) n+q q(n+r 2 ) n+q q(n+r 1 ) K n+r1 x, θ q dx K n+r2 x, θ q dx nωn n+q nω n n+q. φ, θ S q φ (n+q) n 1 K n+r1 dσ(φ) φ, θ S q φ (n+q) n 1 K n+r2 dσ(φ).

20 Λογαριθμικα κοιλα μετρα πιθανοτητας Από το Θεώρημα 1.4.6, για κάθε 1 p q παίρνουμε (1.94) x Kp(f) και Γ(q + 1)1/q Γ(p + 1) 1/p x K q(f) (1.95) x Kq(f) e n p n q x Kp(f). Χρησιμοποιώντας τις (1.94) και (1.95) παίρνουμε (1.96) (Γ(n + r 1 )) n+q n+r 1 (Γ(n + r 2 )) n+q n+r 2 φ (n+q) K n+r1 (f) e n (r 2 r 1 )(n+q) φ (n+q) (n+r 1 )(n+r 2). K n+r2 (f) Επίσης, η Πρόταση 1.4.7 δίνει (1.97) e n2 r 2 r 1 (n+r 1 )(n+r 2) K n+r 2 Επομένως, n n+r 2. n+r 1 K n+r1 (Γ(n + r 2)) (Γ(n + r 1 )) n (1.98) e n(r 2 r 1 )(n+q) q(n+r 1 )(n+r 2 ) (Γ(n + r 1)) (Γ(n + r 2 )) n+q q(n+r 1 ) n+q q(n+r 2 ) h Z q(k n+r1 (f)) (θ) h Zq(K n+r2 (f)) (θ) e n(r 2 r 1 )(n+q) (Γ(n + r q(n+r 1 )(n+r 2 2)) ) (Γ(n + r 1 )) n+q q(n+r 2 ) n+q q(n+r 1 ). Για n N, q > 0 και n < r 1 r 2 ορίζουμε (1.99) A q,r1,r 2,n := e n(r 2 r 1 )(n+q) (Γ(n + r q(n+r 1 )(n+r 2 2)) ) (Γ(n + r 1 )) n+q q(n+r 2 ) n+q q(n+r 1 ) Ετσι, έχουμε δείξει ότι αν f είναι μια κεντραρισμένη λογαριθμικά κοίλη πυκνότητα στον R n τότε, για κάθε q 1, για κάθε (n 1) < r 1 r 2 και για όλα τα θ S n 1, έχουμε (1.100) A 1 q,r 1,r 2,n h Z q(k n+r1 (f)) (θ) h Zq(K n+r2 (f)) (θ) A q,r 1,r 2,n, ή ισοδύναμα (1.101) A 1 q,r 1,r 2,nZ q (K n+r2 (f)) Z q (K n+r1 (f)) A q,r1,r 2,nZ q (K n+r2 (f))..